einer (durch formula_6 bezeichneten) von der Zeit formula_7 abhängigen Stromstärke vorzubeugen. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli bis ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit formula_2 als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Komplexe Zahlen können in der Form formula_9 dargestellt werden, wobei formula_10 und formula_11 reelle Zahlen sind und formula_2 die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei formula_13 stets durch formula_14 ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol formula_15 (Unicode U+2102: ) verwendet. Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge "einmal" komplex differenzierbare Funktion dort auch "beliebig oft" differenzierbar - anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt. Definition. Die letzte Forderung ist gleichbedeutend damit, dass sich jede komplexe Zahl in der Form formula_24 (bzw. in verkürzter Notation formula_25 oder auch formula_26) mit reellen Zahlen formula_10 und formula_11 darstellen lässt. Die imaginäre Einheit formula_2 ist dabei keine reelle Zahl. Die Existenz eines solchen Zahlbereichs wird im Abschnitt zur "Konstruktion der komplexen Zahlen" nachgewiesen. Unter Verwendung der Begriffe Körper und Isomorphie lässt sich das so formulieren: Es gibt minimale Körper, die den Körper der reellen Zahlen und ein Element formula_2 mit der Eigenschaft formula_23 enthalten. In einem solchen Körper hat jedes Element formula_32 eine und nur eine Darstellung als formula_33 mit reellen formula_34 Die komplexen Zahlen sind isomorph zu jedem solchen Körper. Notation. Die Notation in der Form formula_41 wird auch als (nach René Descartes benannte) kartesische oder "algebraische Form" bezeichnet. Die Bezeichnung "kartesisch" erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. gaußschen Zahlenebene (siehe weiter unten). Es findet sich auch die Darstellung formula_42; in der Norm DIN 1302:1999 "Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe" kommt sie allerdings nicht vor. In der Elektrotechnik wird das kleine "i" schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher kann in diesem Bereich gemäß DIN 1302 der Buchstabe j verwendet werden. In der Physik wird zwischen formula_43 für die Stromstärke bei Wechselstrom und formula_44 für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden. Rechnen in der algebraischen Form. Addition. Für die Addition zweier komplexer Zahlen formula_24 und formula_46 gilt Subtraktion. Analog zur Addition (siehe oben) funktioniert auch die Subtraktion Multiplikation. Für die Multiplikation gilt entsprechend Diese Formel ergibt sich mit der Definition formula_23 durch einfaches Ausmultiplizieren und Neugruppieren. Betrag und Metrik. Betrag. Der Betrag formula_92 einer komplexen Zahl formula_32 ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu aus ihrem Realteil formula_95 und Imaginärteil formula_96 berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. Metrik. Die durch die Abstandsfunktion formula_98 induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum formula_63 mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von formula_100 überein, wie die Einschränkung formula_101 von formula_102 auf formula_64 mit der Standardmetrik auf formula_64 übereinstimmt. Beide Räume formula_63 wie formula_64 sind vollständig unter diesen ihren Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern. Komplexe Zahlenebene. Während sich die Menge formula_107 der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge formula_63 der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von formula_63 als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl formula_110 mit formula_111 besitzt dann die horizontale Koordinate formula_10 und die vertikale Koordinate formula_11. Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird. Besonders in der Physik wird die geometrisch anschauliche Ebene häufig als die komplexe Zahlenebene aufgefasst und der Notation der komplexen Zahlen in Polarform der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben. Polarform. Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten formula_114 und formula_115 Polarkoordinaten formula_116 und formula_117, kann man die komplexe Zahl formula_118 auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten "Polarform" darstellen, die sich aus formula_120 und formula_121 ergibt. Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion formula_122 heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks formula_123 trigonometrische Darstellung (der Polarform). Aufgrund der eulerschen Relation sind beide Darstellungsformen gleichwertige und gleichbedeutende Alternativschreibweisen der Polarform. Des Weiteren gibt es für sie, namentlich in der Praxis, die noch weiter verkürzten Schreibweisen in denen formula_125 für die Summe formula_126 steht und die Form mit dem Winkeloperator formula_127 als Versordarstellung bezeichnet wird. In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei formula_128 der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und formula_129 dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl formula_130. Üblicherweise jedoch nennt man formula_128 hier den "Betrag" von formula_130 (oder auch sein "Modul") (Schreibweise formula_116) und den Winkel formula_129 das "Argument" (oder auch die "Phase") von formula_130 (Schreibweise formula_117). Da formula_129 und formula_138 dabei derselben Zahl formula_130 zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man formula_129 meist auf das Intervall formula_141, also formula_142 ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für formula_143 zu sprechen. Der Zahl formula_144 indes ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen. Das Argument von formula_130 ist auch der Imaginärteil des komplexen natürlichen Logarithmus Mit der Wahl eines auf ganz formula_15 definierten Zweiges des Logarithmus ist also auch eine Argumentfunktion bestimmt (und umgekehrt). Alle Werte formula_148 bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag formula_149, diese Zahlen werden auch unimodular genannt und bilden die Kreisgruppe. Dass die Multiplikation von komplexen Zahlen (außer der Null) Drehstreckungen entspricht, lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: Die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null lässt sich als direktes Produkt der Gruppe der Drehungen, der Kreisgruppe, und der Streckungen um einen Faktor ungleich Null, der multiplikativen Gruppe formula_150 auffassen. Erstere Gruppe lässt sich durch das Argument formula_129 parametrisieren, zweitere entspricht gerade den Beträgen. Komplexe Konjugation. Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils formula_11 einer komplexen Zahl formula_153 so erhält man die zu formula_32 konjugiert komplexe Zahl formula_155 (manchmal auch formula_156 geschrieben). Die Konjugation formula_157 ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle formula_158 gilt In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl formula_160 bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von formula_161 Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die "Spiegelung an der reellen Achse" interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra. Umrechnungsformeln. Von der algebraischen Form in die Polarform. Für formula_171 in algebraischer Form ist Für formula_173 kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für formula_174 kann das Argument formula_129 im Intervall formula_141 mit Hilfe des Arkuskosinus bzw. des Arkustangens durch ermittelt werden. Etwas umständlicher (da der Fall formula_178 gesondert behandelt werden muss und der Tangens im Intervall formula_179 seinen Wertebereich zweimal durchläuft) ist die Berechnungsvariante für alle formula_181. Viele Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen stellen aber eine Variante der Arkustangensfunktion zur Verfügung (häufig mit dem Namen "atan2" bezeichnet), die beide Werte übergeben bekommt und das Ergebnis je nach Vorzeichen von formula_10 und formula_11 dem passenden Quadranten zuordnet. Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π). (siehe Polarkoordinaten). Von der Polarform in die algebraische Form. Wie weiter oben, stellt a den Realteil und b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar. Rechenoperationen 3. Stufe. Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren. Potenzen. Natürliche Exponenten. Für natürliche Zahlen formula_200 berechnet sich die formula_200-te Potenz in der polaren Form formula_202 zu oder für die algebraische Form formula_33 mit Hilfe des binomischen Satzes zu Beliebige komplexe Exponenten. Die allgemeine Definition einer Potenz mit komplexer Basis formula_143 und komplexem Exponenten formula_207 lautet wobei formula_209 für den Hauptwert des komplexen Logarithmus steht (siehe unten), damit liefert die Formel ebenfalls einen Hauptwert. Im Fall formula_210 oder formula_211 allerdings stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig. Wurzeln. Beim Rechnen mit Wurzeln gelten die bekannten Rechenregeln für nichtnegative reelle Zahlen nicht. Egal, welchen der beiden möglichen Werte formula_2 oder formula_213 man für formula_214 festlegt, erhält man z. B. Zur Berechnung der formula_200-ten Wurzeln der komplexen Zahl formula_217 dient die Formel wobei formula_219 die Werte formula_220 durchläuft. Eine Zahl hat also formula_200 komplexe formula_200-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in formula_63 mehrdeutig. Logarithmen. Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl "w" heißt Logarithmus der komplexen Zahl "z", wenn Mit "w" ist auch jede Zahl formula_225 mit beliebigem formula_226 ein Logarithmus von "z". Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl mit formula_228 und formula_229 ist Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl "z" ist wobei formula_232 der Hauptwert des Arguments von "z" ist. Konstruktion der komplexen Zahlen. In diesem Abschnitt wird nachgewiesen, dass tatsächlich ein Körper formula_15 der komplexen Zahlen existiert, der den in der obigen Definition geforderten Eigenschaften genügt. Es sind dabei verschiedene Konstruktionen möglich, die jedoch bis auf Isomorphie zum selben Körper führen. Paare reeller Zahlen. Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit formula_2: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum formula_238 der geordneten reellen Zahlenpaare formula_239 wird neben der Addition (das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch definiert. Nach dieser Festlegung schreibt man formula_242, und formula_243 wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen. Bezug zur Darstellung in der Form "a" + "b"i. Durch formula_257 wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt formula_23. Jede komplexe Zahl formula_259 besitzt die "eindeutige" Darstellung der Form mit formula_261; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen. Polynome: Adjunktion. Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl i entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten formula_263, die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert. Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion. Matrizen. Die Menge der formula_264-Matrizen der Form Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen formula_264-Matrizen. Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen formula_276 Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern formula_10 und formula_11 nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum formula_238. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl formula_25 in der gaußschen Zahlenebene. Geschichte. Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar ist, blieb man nicht stehen. keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung für formula_284 und formula_285 die Werte (−10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre, dem sich ergebenden Ausdruck einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach denselben Regeln rechnen dürfte wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke in der Tat eine Lösung darstellen. Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl formula_290 und einer positiven reellen Zahl formula_291 zusammengesetzten Zahlen hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert. Im Gegensatz dazu wurden als "gewöhnliche" Zahlen die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen "La Géométrie" von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf. Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck, der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird, als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum ersten Mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat. Da das Rechnen mit diesen als „sinnlos“ angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man umso überraschter, dass dieses „Spiel“ sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner "Introductio in analysin infinitorum" zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten. So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung "Essai sur la représentation analytique de la direction" aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessel (1745–1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, sodass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten. Als erster definierte Augustin-Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch "Cours d’analyse" eine Funktion einer komplexen Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie. Allgemeine Beachtung fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den "Göttingschen gelehrten Anzeigen" dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern. Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen. Bedeutung. Komplexe Zahlen in der Physik. Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines (projektiven) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen. Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind. In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, Wellenlängen-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder der komplexen Brechzahl zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird. In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus. Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik. In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung. In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet. Körpertheorie und algebraische Geometrie. Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen. Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind (ringtheoretisch) isomorph. Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität des Kontinuums. Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa als Erweiterung des algebraischen Abschlusses der rationalen Zahlen um Kontinuum viele transzendente Elemente. Eine weitere Konstruktion liefert ein Ultraprodukt: Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters. Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 ist, die Kardinalität des Kontinuums folgt aus mengentheoretischen Überlegungen. Unter dem Schlagwort Lefschetz-Prinzip werden verschiedene Sätze zusammengefasst, die es erlauben, Ergebnisse der algebraischen Geometrie, die über den komplexen Zahlen bewiesen werden, auf andere algebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0 zu übertragen (was maßgeblich auf der Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 aufbaut). Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten. Obige Ultraproduktkonstruktion erlaubt die Übertragung von Ergebnissen im Fall einer Charakteristik ungleich 0 auf die komplexen Zahlen. Spektraltheorie und Funktionalanalysis. Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von formula_63 über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist. In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen. Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen von Gruppen auf komplexen Hilberträumen. Funktionentheorie und komplexe Geometrie. Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen. Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie, die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen. Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion. In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle. Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, d. h. beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese so genannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip). Kapazität Kondensator Kinetische Energie Die kinetische Energie (von griechisch "kinesis" = Bewegung) oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse formula_1 und von der Geschwindigkeit formula_2 des bewegten Körpers ab. Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird in der theoretischen Physik üblicherweise formula_3 verwendet, seltener auch formula_4 (z. B. in der physikalischen Chemie). Die Maßeinheit der kinetischen Energie ist Joule. Das Konzept der kinetischen Energie (noch ohne den Vorfaktor 1/2) wurde im 18. Jahrhundert von Émilie du Châtelet, aufbauend auf Überlegungen von Gottfried Wilhelm Leibniz, eingeführt (als "vis viva", "Lebendige Kraft"). Bis zu diesem Zeitpunkt vertrat man die Ansicht von Newton, die Bewegungsenergie sei der Geschwindigkeit proportional. Kinetische Energie in der klassischen Mechanik. Massenpunkt. In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie "T" eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse formula_1 (in kg) und seinem Bewegungszustand. Wird der Bewegungszustand durch die Geschwindigkeit formula_2 (in m/s) des Massenpunktes beschrieben, so gilt Fährt beispielsweise ein Auto der Masse formula_8 mit einer Geschwindigkeit von formula_9, hat es demzufolge eine kinetische Energie von formula_10. Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit. Starre Körper. Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse formula_20 und der Geschwindigkeit formula_21 seines Schwerpunktes kann separiert werden als die Summe seiner Energie aus der Bewegung seines Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt. Hier ist formula_23 das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und formula_24 seine Winkelgeschwindigkeit. Mit dem Trägheitstensor formula_25 wird dies allgemein geschrieben als Hydrodynamik. Hierbei bezeichnet formula_30 die Dichte. Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik. Dabei ist "c" die Lichtgeschwindigkeit, "m" die Ruhemasse und "m"rel die relativistische Masse. γ ist der Lorentzfaktor Aus der Taylor-Entwicklung nach formula_34 erhält man also für formula_36 wieder die Newtonsche kinetische Energie. Da die Energie über alle Grenzen wächst, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht, formula_37, ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen. Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von formula_38 die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit). Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik. Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %. Der Large Hadron Collider führt Protonen eine Energie von 7 TeV zu. Die Protonen (Ruheenergie 940 MeV) werden dabei auf das 0,999999991-Fache der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Kinetische Energie in der Quantenmechanik. In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert formula_41 der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse formula_1, welches durch die Wellenfunktion formula_43 beschrieben wird, gegeben durch wobei formula_45 das Quadrat des Impuls-Operators des Teilchens ist. Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte formula_46 ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für formula_47 Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall formula_48 ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als geschrieben werden, wobei formula_50 das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist. Kyrillisches Alphabet Die kyrillische Schrift ist eine Buchstabenschrift, die in zahlreichen, vor allem slawischen Sprachen in Europa und Asien verwendet wird. Sie ist nach Kyrill von Saloniki (826–869) benannt, der jedoch nicht Kyrillisch selbst, sondern die ihr vorausgehende glagolitische Schrift entworfen hat. Man nennt die kyrillische Schrift auch Kyrilliza (Кирилица, Кириллица, "Ćirilica"/Ћирилица) oder Asbuka (азбука; transliteriert "Azbuka"), nach den traditionellen beiden ersten Buchstaben a (slawisch as) und b (slawisch buki). Geschichte. Entstehung. Obwohl anerkannt ist, dass Kyrill und Method als Urheber der glagolitischen Schrift gelten können, ist die Urheberschaft des kyrillischen Alphabetes immer noch Gegenstand akademischer Diskussion. Sie trägt zwar den Namen Kyrills, entstand jedoch nach heutiger Auffassung erst um die Mitte des 10. Jahrhunderts in Ostbulgarien am Hofe der bulgarischen Zaren in Preslaw. Eine Urheberschaft von Kyrill und Method, die ein Jahrhundert früher lebten, würde somit ausgeschlossen. Die Zuschreibung an Clemens von Ohrid, einen im westlichen Teil des Bulgarischen Reiches tätigen Schüler Kyrills von Saloniki, ist zwar weit verbreitet, jedoch legendenhaft und nicht zu beweisen. Eine entsprechend gedeutete Nachricht in der "Legenda Ochridica" bedeutet tatsächlich wohl nur, dass er die glagolitische Schrift reformiert hat. Die meisten Buchstaben wurden aus dem griechischen Alphabet (in seiner byzantinischen Schriftform) übernommen oder abgeleitet. Für Laute, die im Griechischen nicht vorkamen, wurden Zeichen aus der glagolitischen Schrift (Glagoliza) zugrunde gelegt, die um 862 vom Slawenlehrer Konstantin, der später den Namen Kyrill annahm, entwickelt worden war. Es gibt keine einzige mittelalterliche Quelle, die das Alphabet als „Kyrillisch“ bezeichnet oder aber Kyrill von Saloniki als Schöpfer dieser Schrift erwähnt. Auch wenn das Alphabet heute den Namen Kyrills trägt, dürfte weder Konstantin Kyrill noch sein Schüler Clemens von Ohrid der Schöpfer der neuen Schrift sein. Als erwiesen gilt, dass das Alphabet seine erste Verbreitung durch Konstantin von Preslaw fand, Schüler von Kyrills Bruder Method und einer der bedeutendsten Vertreter der sogenannten Literarischen Schule von Preslaw (bulg. Преславска книжовна школа). Er war um 900 Bischof in der bulgarischen Hauptstadt Preslaw. Von seinen altbulgarischen Texten, die kyrillisch gefasst sind, sind heute mehr als 40 Schriften bekannt. Sein bedeutendstes Werk ist das „Belehrende Evangelium“ (um 893–894), dessen Einführung – das „Alphabetische Gebet“ – durch eine russische Abschrift aus dem 12. Jahrhundert bekannt ist. Das Werk von Konstantin von Preslaw gilt als eine der ältesten kyrillischen Schriften. Eine der ersten erhaltenen Steininschriften auf Kyrillisch ist die Inschrift auf dem Fragment eines Grabkreuzes aus dem 9. oder 10. Jahrhundert, das einst das Grab von Ana markierte. Ana war die jüngste Tochter des bulgarischen Herrschers Boris I. (852–889) und die Schwester seiner Thronfolger Wladimir Rassate (889–893) und Simeon I. (893–927). Die zweisprachige Inschrift erzählt auf Altbulgarisch in kyrillischer Schreibweise und auf Griechisch, dass „der Diener Gottes Ana verstorben ist. Im Monat Oktober am neunten Tag verstarb der Gottesdiener Ana“. Diesem Denkmal kommt zentrale Bedeutung auch deshalb zu, weil es das erste erhaltene Monument ist, das die Verwendung des kaiserlichen Titels Zar zum ersten Mal historisch belegt. Die Grabinschrift wird mit weiteren steinernen Monumenten aus der Zeit zwischen dem 9. und dem 10. Jahrhundert im Archäologischen Museum Weliki Preslaw aufbewahrt. Vergleichstabelle zur Entwicklung der Buchstabenformen. Wie aus der Tabelle ersichtlich, wurde die kyrillische Schrift hauptsächlich aus der griechischen entwickelt. Dabei wurden griechische Unzialformen benutzt (vgl. Griechisches Alphabet), aus denen später sowohl Klein- wie auch Großbuchstaben entstanden. Für alle mit griechischen Buchstaben nicht darstellbaren Phoneme wurden glagolitische Buchstaben – in einer an den griechischen beziehungsweise kyrillischen Schriftduktus angepassten Form – übernommen. Weitere Entwicklung. Die ursprünglich einheitliche Schrift hat in den verschiedenen Sprachen, die das Kyrillische nutzen, teilweise unterschiedliche Entwicklungen genommen. Die der Ausgangsform am nächsten kommende Variante findet sich im Kirchenslawischen wieder. Mehrere Buchstaben (z. B. ѣ, ѫ, ѧ, ѳ, ѡ) der alten kyrillischen Schrift werden heute nicht mehr verwendet. Das heutige Buchstabeninventar der einzelnen Sprachen wird in den Artikeln zu den jeweiligen Sprachen behandelt. Um 1700 wurde die kyrillische Schrift im Russischen Reich im Zuge der Reformen Peters des Großen vereinfacht und optisch an die lateinische Schrift angepasst. Diese latinisierten Buchstabenformen, die zur Unterscheidung von der kirchenslawischen Schrift als "Bürgerliche Schrift" bezeichnet wurden, wurden zur Grundlage der normativen Orthographie des Russischen. In der Folge fanden sie unter russischem Einfluss auch in den außerhalb des Russischen Reiches gelegenen Regionen Verbreitung, in denen die kyrillische Schrift verwendet wurde. Im 19. Jahrhundert erhielten auch das Bulgarische und das Serbische eine normierte kyrillische Orthographie. Während die bulgarische Kyrilliza sich in der Form der Buchstaben weitgehend an die russische anlehnte und in der Orthographie zunächst zum großen Teil etymologischen Kriterien folgte, wurde die serbische Kyrilliza durch Vuk Karadžić radikal reformiert, um eine konsequent phonologische Schreibweise des Serbischen zu ermöglichen. Ende des 19. beziehungsweise Anfang des 20. Jahrhunderts wurde auch die kyrillische Orthographie des Ukrainischen und des Weißrussischen einheitlich normiert, wobei die Alphabete dieser Sprachen jeweils viele Gemeinsamkeiten, aber auch einige Abweichungen von dem des Russischen aufweisen. Während und unmittelbar nach dem Zweiten Weltkrieg wurde schließlich in Jugoslawien ein eigenes, vorwiegend dem Vorbild des Serbischen folgendes kyrillisches Alphabet für das Mazedonische normiert. Für das Rumänische, eine romanische Sprache, die in einem Land überwiegend orthodoxen Glaubens gesprochen wird und seit dem 16. Jahrhundert kyrillisch geschrieben worden war, wurde hingegen 1865 das kyrillische Alphabet zugunsten des lateinischen abgeschafft. Durch die russische Rechtschreibreform von 1918 wurde die kyrillische Schreibweise des Russischen erneut reformiert, wobei einige infolge der Lautentwicklung nicht mehr notwendige Schriftzeichen abgeschafft wurden. Eine ähnliche Reform erfolgte nach dem Zweiten Weltkrieg für das Bulgarische. Die Schreibweise der übrigen kyrillisch geschriebenen slawischen Sprachen hat sich hingegen seit ihrer ersten modernen Normierung, die bereits zum großen Teil phonologischen Kriterien folgte, nicht mehr wesentlich verändert. Bereits zur Zeit des Zarenreiches wurde das kyrillische Alphabet zur erstmaligen Verschriftlichung einiger kleinerer Sprachen in den zu diesem gehörenden Gebieten Osteuropas, des Kaukasus, Zentralasiens und Sibiriens genutzt. Zu sowjetischer Zeit wurde in den 1920er- und beginnenden 1930er-Jahren zunächst das lateinische Alphabet als Mittel zur Verschriftlichung von Sprachen propagiert, die bisher schriftlos waren oder zuvor das von offizieller Seite als rückständig angesehene arabische oder das mongolische Alphabet verwendet hatten. Ende der 1930er-Jahre wurde dann jedoch die Orthographie aller dieser Sprachen auf das kyrillische Alphabet umgestellt. Von der allgemeinen Einführung der Kyrilliza für die Sprachen der Sowjetunion ausgenommen blieben lediglich das Armenische und das Georgische, die ihre eigenen traditionellen Schriften beibehielten, sowie die Sprachen der baltischen Republiken und von Minderheitengruppen mittel- oder westeuropäischer Herkunft, die weiterhin in lateinischer Schrift geschrieben wurden. Nach dem Vorbild der Sowjetunion führte auch die Mongolische Volksrepublik die kyrillische Schrift ein. Zur Schreibung der nichtslawischen Sprachen der Sowjetunion wurde das kyrillische Alphabet in der für das Russische üblichen Form in den meisten Fällen um weitere, meist neugeschaffene Buchstaben erweitert, um alle Laute der jeweiligen Sprache wiedergeben zu können. Heutige Verbreitung. Heute werden Russisch, Ukrainisch, Weißrussisch, Bulgarisch, Serbisch, Mazedonisch und das moderne Kirchenslawisch sowie zahlreiche weitere Sprachen in Osteuropa, Sibirien, dem nördlichen Kaukasus und Zentralasien mit kyrillischen Zeichen geschrieben, darunter Turksprachen wie Kasachisch und Kirgisisch, das mit dem Persischen verwandte Tadschikisch, Mongolisch oder auch Dunganisch, ein chinesischer Dialekt. Die Alphabete der einzelnen Sprachen sind im Wesentlichen gleich und unterscheiden sich nur durch einige wenige Zeichen. Manche Sprachen verwenden Sonderzeichen (ähnlich den Umlauten in der lateinischen Schrift). Allerdings werden in der kyrillischen Schrift im Gegensatz zur Lateinschrift nur selten beigefügte Akzente, Punkte, Zedillen oder ähnliches verwendet, sondern eher ganz neue Buchstabenformen eingeführt. Die kirchenslawische Schrift enthält eine ganze Reihe von Zeichen, die in den modernen Schriften nicht mehr üblich sind. Seit dem Beitritt Bulgariens zur Europäischen Union 2007 ist die kyrillische neben der lateinischen und der griechischen eine der drei offiziell verwendeten Schriften in der EU. Aus diesem Grund werden seit 2013 die Währungsbezeichnung EURO und die Abkürzung EZB (für Europäische Zentralbank) auf den Eurobanknoten auch in der kyrillischen Schreibweise aufgeführt. Kursive und aufrechte Formen. Von einigen Kleinbuchstaben gibt es sehr unterschiedliche Varianten, ähnlich wie bei a/ɑ im lateinischen Alphabet. Im Russischen herrscht in aufrechter Schrift die der jeweiligen Majuskel ähnelnde Form der Minuskeln vor, und die andere Form kommt fast nur in kursiven Schriften vor, wie in der Tabelle abgebildet. Im Bulgarischen und Serbischen sind die von den Großbuchstaben stark abweichenden Minuskeln auch in aufrechter Schrift üblich. Das vergrößert die Zahl jener Zeichen, die bei gleicher Form im kyrillischen und im lateinischen Alphabet unterschiedliche Bedeutung haben. Vor allem in Serbien kann das leicht verwirren, wo die Landessprache mancherorts sowohl lateinisch als auch kyrillisch geschrieben wird. In der Computertypographie sind diese Varianten bisher nur über speziell lokalisierte Schriften darstellbar; zukünftig sollen aber „Smart Fonts“ über Techniken wie OpenType, Graphite oder AAT abhängig von der Sprache (halb-)automatisch die korrekten Glyphvarianten auswählen können. Kyrillische Schreibschrift. Noch Ende des 17. Jahrhunderts hatte kyrillische Schreibschrift große Ähnlichkeit mit mittelalterlicher griechischer Unziale. Mit der von Zar Peter dem Großen eingeleiteten Modernisierung Russlands näherte sich der Stil gedruckter wie geschriebener Schrift zeitgenössischen westeuropäischen Schriften an. Wiedergabe mit lateinischen Buchstaben. Die Umkehrbarkeit ist dabei nur im ersten Fall vollständig gewährleistet, mit kleinen Einschränkungen meist auch im zweiten. Daneben gibt es die rein ausspracheabhängige Schreibung, z. B. per IPA, die aber nicht von der Ursprungsverschriftung, also hier den kyrillischen Buchstaben, abhängig ist. In einigen Fällen, etwa dem Mongolischen oder bei Namen von Auswanderern, wird das kyrillische Schriftsystem parallel mit einem anderen verwendet, für das es oft wiederum eine Transliterationsvorschrift ins lateinische gibt, die zu anderen Ergebnissen führen kann. Ein theoretisch möglicher rein zielsprachabhängiger Ansatz ist nicht üblich, da wie im lateinischen Schriftsystem nicht in jeder Sprache den kyrillischen Buchstaben dieselben Laute zugeordnet sind (z. B. г → "g/h"). Die in der Slawistik übliche "wissenschaftliche Transliteration" beruht auf dem tschechischen Alphabet. Die Normen der ISO und anderer Institute (v. a. GOST) bauen darauf auf, unterscheiden sich aber in Details davon. Die Vereinten Nationen empfehlen seit 1987 für geographische Bezeichnungen GOST 16876-71, die zumindest für das Russische keine Unterschiede zur wissenschaftlichen Transliteration und ISO/R 9 aufweist und nur drei zu ISO 9 (щ → "šč/ŝ", я → "ja/â", ю → "ju/û"). Die Nachfolgenorm GOST 7.79-2000 stimmt in System A insgesamt bis auf zwei kleine Ausnahmen mit ISO 9 überein. Für die weitgehend phonetische "Transkription" gibt es in den europäischen Sprachen – auch und gerade der deutschen – eine lange Tradition, in deren Verlauf es auch zu Änderungen und Varianten kam (z. B. Namensendung "-off/-ow/-ov/-ev" oder in der DDR "sh" für ж). Neben der Verwendung von "w" anstelle von "v" für в weicht die vom Duden gepflegte (russisch-)deutsche Transkription vor allem bei den S-Lauten von der Transliteration ab (ш/ж → "sch", з → "s" statt "z", ц → "z" statt "c"). Im englischen Sprachraum dominieren zwei einander sehr ähnliche Standards, die zugunsten von Digraphen (meist mit "h") weniger stark auf diakritische Zeichen wie Hatschek und Zirkumflex setzen (z. B. "щ" → "shch" statt "šč" oder "ŝ"): BGN/PCGN (Geographie) und ALA-LC (Bibliothekswesen). Durch die Verwendung in den internationalen Medien, zum Beispiel im Profisportbereich, und deren unreflektierter Übernahme durch die lokale Presse finden sich die französische und vor allem englische Transkription auch in vielen anderen Ländern; ebenso tauchen wegen technischer Schwierigkeiten akzentbefreite Transliterationen auf. Es ist ein Qualitätsmerkmal von Verlagen und Redaktionen, den ausgewählten Transkriptions- oder Transliterationsstandard durchgängig einzuhalten. In Jugoslawien galt für die lokalen Sprachen eine einheitliche Umwandlung von kyrillischen in lateinische Buchstaben und umgekehrt, die sich in den Nachfolgestaaten erhalten hat. Vor allem in Serbien werden beide Systeme weiterhin parallel verwendet. In den Staaten Aserbaidschan, Turkmenistan und Usbekistan wurden nach der Unabhängigkeit von der Sowjetunion in den 1990er-Jahren auf dem Türkischen basierende lateinische Alphabete (wieder-)eingeführt. In diesen Fällen wird in der Regel auch im Ausland die lokale Umschrift verwendet. In Weißrussland hat ein an das polnische angelehntes lateinisches Alphabet "(Łacinka)" historische Bedeutung, genießt heute aber keinen offiziellen Status und wird deswegen zur Transkription des Weißrussischen in fremdsprachigem Kontext nur selten verwendet. Beispiele für die Umschrift von Namen. In Klammern steht ggf. unter "Transliteration" die strengere ISO 9 von 1995 und unter "deutsch" die DDR-Transkription. Zu inoffiziellen Methoden der Transliteration, die sich an den technischen Beschränkungen von Eingabegeräten wie lateinischen Tastaturen orientieren, siehe Translit. Erscheinungsformen in einzelnen Sprachen. Slawische Sprachen. Kirchenslawisch. Auch moderne kirchenslawische Texte werden nach wie vor in der altkyrillischen Schrift gesetzt, die in der obigen Tabelle dargestellt ist. Eine etwaige Transkription oder Transliteration richtet sich in der Regel nach der Sprache des Landes, in der der Text erscheint. Serbisch, Serbokroatisch und Montenegrinisch. "Anmerkung:" Die serbische Sprache verwendet neben der kyrillischen Schrift auch das lateinische Alphabet. Die Verfassung Serbiens hebt zwar die kyrillische Schrift für den offiziellen Gebrauch vor allem in der öffentlichen Verwaltung und Schulen in Serbien als erste Schrift hervor, es kann und darf aber die lateinische Schrift auch im offiziellen Gebrauch verwendet werden. Im Serbokroatischen des ehemaligen Jugoslawien waren die serbische kyrillische Schrift und das lateinische Alphabet im offiziellen Gebrauch gleichgestellt. In Montenegro ist laut Verfassung die kyrillische Schrift neben der lateinischen Schrift gleichberechtigt. Im Jahr 2009 veröffentlichte das montenegrinische Ministerium für Bildung und Wissenschaft eine Rechtschreibung, die neben zwei zusätzlichen Buchstaben (sowohl in der lateinischen als auch in der kyrillischen Variante) auch ein Wörterbuch mit entsprechenden Abweichungen der Schreibungen einzelner Wörter der montenegrinischen Sprache vom Serbokroatischen enthält. Die heutige Form der serbischen "Azbuka" (Alphabet) geht auf die Reformierung der bisherigen kyrillischen Schrift durch Vuk Stefanović Karadžić im 19. Jahrhundert zurück. Die slawenoserbische Schrift, die zu seiner Zeit nur noch in höheren Kreisen bekannt war, ähnelte bis auf einige Konsonanten vor allem der russischen kyrillischen Schrift sehr. Vom Mittelalter bis ins 19. Jahrhundert war vor allem in Bosnien und Herzegowina und in Teilen Kroatiens außerdem die Schrift Bosančica verbreitet. Turksprachen. Baschkirisch. Die mit * gekennzeichneten Buchstaben kommen gewöhnlich nur in jüngeren Fremdwörtern russischer Herkunft vor. Kasachisch. Die mit * gekennzeichneten Buchstaben kommen gewöhnlich nur in jüngeren Fremdwörtern russischer Herkunft vor. Uigurisch. In der Sowjetunion und ihren Nachfolgestaaten (v. a. Kasachstan) wurde und wird Uigurisch mit einem kyrillischen Alphabet geschrieben; in der Volksrepublik China hingegen offiziell zunächst mit einem erweiterten Lateinalphabet ("Yengi Yezik̡", „neue Schrift“) und seit 1987 (wieder) in einem arabisch-persischen Alphabet ("K̡ona Yezik̡", „alte Schrift“). In den verschiedenen Verschriftungen kommen unterschiedliche Rechtschreibprinzipien zum Tragen, so dass die verschiedenen Alphabete nicht eins zu eins ineinander übertragbar sind. Das betrifft vor allem die Schreibweise von Lehnwörtern aus dem Russischen und aus dem Chinesischen. Mongolische Sprachen. Burjatisch. Die mit * gekennzeichneten Buchstaben kommen gewöhnlich nur in jüngeren Fremdwörtern russischer Herkunft vor. Andere Sprachen. Dunganisch. Die mit * gekennzeichneten Buchstaben werden nur in russischen Lehnwörtern verwendet. Rumänisch. Wegen des orthodoxen Glaubens der Rumänen und der slawischen Umgebung wurde die rumänische Sprache ab dem 16. Jahrhundert mit kyrillischen Buchstaben geschrieben. Diese Schrift wurde von der kirchenslawischen übernommen. Ab dem 18. Jahrhundert wurde jedoch die kyrillische Schrift in Siebenbürgen (das damals zum Habsburgerreich gehörte) nach und nach durch die lateinische ersetzt. Damals wurde noch kein eigenes rumänisches Alphabet entwickelt, sondern nach den Regeln der ungarischen Orthographie geschrieben. Die Siebenbürgische Schule entwickelte schließlich Anfang des 19. Jahrhunderts ein eigenes offizielles rumänisches Alphabet, das auf lateinischen Buchstaben basierte. 1862 wurde in Rumänien offiziell die kyrillische Schrift komplett durch die lateinische ersetzt. 1938 wurde in der Moldauischen ASSR für die in Moldauisch umbenannte rumänische Sprache die kyrillische Schrift wieder eingeführt, allerdings diesmal nicht in der kirchenslawischen, sondern in der russischen Version. Im von der Sowjetunion annektierten Bessarabien wurde zwischen 1940 und 1941, sowie von 1944 bis 1989 die Verwendung der kyrillischen Schrift obligatorisch. Heute wird Rumänisch nur noch in Transnistrien mit kyrillischen Buchstaben geschrieben. Tschuktschisch. Die mit * gekennzeichneten Buchstaben kommen nur selten oder gar nicht in genuin tschuktschischen Wörtern vor. Namen der Buchstaben. Traditionelle Namen. Im Kirchenslawischen hat, ähnlich wie im Griechischen, jeder Buchstabe einen Namen. Diese womöglich schon von Konstantin-Kyrill selbst eingeführten Namen sind größtenteils normale altkirchenslawische Wörter beziehungsweise Wortformen, die eine Art Merkspruch zu ergeben scheinen, durch den sich vielleicht Schreibschüler die Reihenfolge des Alphabets besser merken konnten. Allerdings sind für die am Ende des Alphabets, nach Omega, eingefügten Buchstaben größtenteils keine solchen „sprechenden“ Namen überliefert. Kyrillische Zahlen. Die kyrillischen Zahlen sind ein Zahlensystem, das auf den kyrillischen Buchstaben beruht. Es wurde bei den Süd- und Ostslawen vor allem in kirchenslawischen Texten benutzt, die in alter Kyrilliza geschrieben sind. Die Verwendung von Buchstaben als Zahlzeichen erfolgte nach griechischem Muster. Zur Markierung wurde ein Titlo über den jeweiligen Buchstaben gesetzt. Seit dem 16. Jahrhundert wurden daneben auch indische und römische Zahlen benutzt. Seit Einführung der bürgerlichen Schrift durch Peter I. 1708 werden die kyrillischen Zahlen nicht mehr verwendet. Zeichenkodierung. Die verbreitetsten 8-Bit-Kodierungen für Kyrillisch sind ISO 8859-5, Windows-1251, Macintosh Cyrillic, KOI8-R und KOI8-U. Sie umfassen nur die für die modernen slawischen Sprachen benötigten Buchstaben, KOI8 sogar nur die für modernes Russisch beziehungsweise Ukrainisch. Historische Zeichen und Sonderzeichen für nichtslawische Sprachen sind nur in Unicode kodiert (ausführlich dazu vgl. Kyrillisch und Glagolitisch in Unicode). Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Kodierung kyrillischer Zeichen in der aktuellen ISO-Transliteration, hexadezimal und dezimal in Unicode (z. B. für numerische Zeichenreferenzen in HTML, SGML und XML verwendbar), und als hexadezimale Bytewerte in den fünf erwähnten 8-Bit-Kodierungen, wobei die Ergänzungen von KOI8-U gegenüber KOI8-R in der gemeinsamen Spalte in Klammern stehen. Tag der kyrillischen Schrift. Der Tag der kyrillischen Schrift ist der 24. Mai, in Bulgarien als "Tag des bulgarischen Alphabets" gefeiert ist er offizieller Feiertag. An diesem Tag werden traditionell am Denkmal für Kyrill und Method vor der Bulgarischen Nationalbibliothek Blumen niedergelegt, auch in Moskau auf dem Slawjanskaja-Platz in der Nähe des Kremls, wo sich ebenfalls ein Denkmal befindet, in vielen Kirchen werden Gottesdienste abgehalten.